Искусство усреднять

В физике очень часто встречаются рассуждения об “усреднении по ансамблю”. Рассмотрим конкретный пример: требуется рассчитать электросопротивление металла за счет рассеяния электронов проводимости на каких-то примесях, при этом предполагается, что примеси расположены “случайно”. Усредняя по случайному распределению примесей, можно рассчитать их вклад в электросопротивление. Можно, также, провести соответствующие результаты и сравнить теорию с экспериментом.
Здесь есть, однако, тонкий момент, который редко обсуждается в учебниках. В эксперименте мы не усредняем результаты измерений по миллиону образцов. Более того, это просто невозможно – приготовить миллион образцов, идентичных во всех отношениях, кроме распределения примесей. Мы измеряем электросопротивление данного конкретного образца. Какой же смысл сравнивать такую теорию с таким экспериментом?
Дело в том, что электросопротивление достаточно большого куска металла обладает свойством самоусредняемости – это доказано. Самоусредняемость означает, что, хотя, формально, электросопротивление есть случайная величина (зависящая от конкретного расположения примесей в образце), ее распределение, в пределе большого числа атомов в кристалле, становится очень резким, с очень четко выраженным максимумом вероятности. Очень грубо, это можно рассматривать как проявление закона больших чисел, в соответствии с которым при достаточно большом числе испытаний монета будет в половине случаев падать орлом – и это утверждение про половину случаев становится все точнее и точнее при все большем и большем числе бросков.
В то же время, если исследуемый образец достаточно маленький (но все-таки не наномасштаба, а существенно больше, скажем, микронного), сопротивление перестает быть самоусредняемым, и начинает заметно изменяться при перескоке одной-единственной (!) примеси. Тем самым, возникают большие флуктуации, которые проявляются как шум в экспериментальных данных при изменении параметров системы (температура, магнитное поле, и т.д.). Их изучает специальный раздел физики конденсированного состояния, который называется мезоскопикой. Научную информацию из этих зашумленных данных можно извлекать, только опираясь на соответствующую теорию, в противном случае это выглядит просто как “какая-то грязь”.
Другой пример относится к обычной термодинамике. В теории можно, в принципе, рассчитать зависимость плотности газа от температуры при данном давлении (или от давления при данной температуре). При этом, опять же, используется “усреднение по ансамблю”. И, опять же, никто не делает миллион одинаковых баллонов, не заполняет их, допустим, аргоном, и т.п. – берут один баллон, и проводят измерения. Здесь обоснование, почему так можно, немного другое, оно связано с так называемой эргодической гипотезой (э.г.). Согласно э.г., для системы “общего положения” усреднение по времени наблюдения за любым представителем ансамбля можно заменить усреднением по ансамблю. Тем не менее, и здесь возможны важные исключения, например, так называемые стекла. Более того, “есть основания думать”, что сложная (в некоем трудноформализуемом смысле) система общего положения есть, как раз, стекло. Статистическая физика стекол – область чудовищно сложная и, во многом, counterintuitive.
Что из этого следует? А то, что, прежде чем использовать статистические методы где бы то ни было, нужно уже иметь теорию, то есть, нужно уже знать значительную часть ответа. Как минимум, эта теория вам подскажет, что именно нужно усреднять (например, в случае неупорядоченных металлов самоусредняющейся величиной является электросопротивление, а в случае диэлектриков – грубо говоря, его логарифм). Она, также, подскажет, когда система становится достаточно большой, чтоб использование статистических методов стало оправданным. Пример мезоскопики показывает, что ответ на этот вопрос может быть совершенно противоречащим здравому смыслу (и миллион атомов – это еще мало).
В “неточных” естественных науках и, тем более, в социологии используется, как правило, “лобовое” усреднение по ансамблю (взяли тысячу пташек, или тысячу человек, распотрошили, или спросили мнение о победе Д. Билана), которым физики пользуются только в самом крайнем случае. Причина проста – ансамблей не бывает. Не бывает систем, идентичных во всех отношениях, кроме одного.
“Я, например, не припомню, каким образом было выделено влияние широты места на чувствительность глаза или иных органов от прочих влияний: температуры, давления, времени года, времени дня, влажности воздуха, направления и силы ветра и прочих физически измеримых факторов, и обеспечено сохранение постоянства факторов физиологических, как, например, сыт или голоден субъект, чем питался, что и сколько пил, как действовал желудок, не имел ли каких радостей или огорчений, и пр. В таких случаях требуется несколько миллионов или даже несколько миллиардов наблюдений, чтобы случайные изменения параметров во всем множестве их возможных сочетаний компенсировались и можно было бы иметь хотя бы некоторое доверие к результату” (А. Н. Крылов, Мои воспоминания).
И, самое главное: лучше вообще не пользоваться математикой, чем пользоваться ей неправильно.
03.06.2008
(с) Professor Mikhail Katsnelson