Кокосові горіхи

9 жовтня 1926 року в газеті «The Saturday Evening Post» було надруковано невелике оповідання під назвою «Кокосові горіхи». Сюжет цієї розповіді зводився до того, що якийсь будівельний підрядник хотів будь-що-будь перешкодити своєму конкурентові отримати важливий замовлення. Винахідливий клерк підрядника, знаючи пристрасть конкурента до цікавої математики, підсунув тому задачу настільки захоплюючого змісту, що конкурент, цілком поглинений її рішенням, не подав заявку у встановлений термін і втратив контракт.
Ось це завдання в тому вигляді, як її сформулював клерк. П’ять матросів і мавпа після кораблетрощі висадилися на безлюдному острові. Весь перший день вони займалися збиранням кокосових горіхів. Увечері вони склали всі горіхи до купи і лягли спати. Вночі, коли всі заснули, один з матросів, вирішивши, що вранці під час розподілу горіхів може спалахнути сварка, встав, щоб взяти свою частку горіхів. Він поділив всі кокосові горіхи на п’ять рівних частин, а один горіх віддав мавпі. Потім матрос сховав свою частку, а всі інші горіхи знову склав до кучі. Через деякий час прокинувся інший «робінзон» і зробив те ж саме. У нього теж залишився один зайвий горіх, і він віддав його мавпі. І так один за одним вчинили всі п’ятеро. Кожен з них взяв собі одну п’яту горіхів з тієї купи, яку він знайшов при пробудженні, і кожен віддав один горіх мавпі. Вранці вони поділили залишки горіхів, і кожному дісталося порівну – по одній п’ятій частині. Зрозуміло, кожен з матросів не міг не знати, що частини горіхів не вистачає, але так як у кожного з них совість була однаково нечиста, тому жоден нічого не сказав. Скільки кокосових горіхів було спочатку?
Кажуть, що вже протягом першого тижня після публікації оповідання редакція отримала близько 2000 листів. Протягом ще 20 років редакція продовжувала отримувати листи з проханням повідомити відповідь, або з новими рішеннями. І сьогодні можна зустріти це завдання в збірках математичних головоломок. Задача про розподіл кокосових горіхах існувало і до 1926 року. Більш стара версія завдання майже повністю збігається з наведеною в оповіданні. Єдина відмінність полягає в тому, що вранці при остаточному розділі горіхів в старому варіанті завдання один горіх знову виявляється зайвим і дістається мавпі, в той час як в оповіданні остаточний поділ проводиться точно, без залишку.
Відповідь на задачу допускає нескінченно багато рішень в цілих числах. Наше завдання полягає в тому, щоб знайти серед них найменше позитивне число.

P.S. Число кокосових горіхів з задачі в газеті дорівнює 3121. З нашого відео розбору задачі відомо, що 5^5=3125, а 3125— 4 = 3121 є найменше число горіхів, яке можна п’ять разів ділити на п’ять рівних частин, віддаючи при кожному розподілі один кокосовий горіх мавпі. Після п’ятикратного поділу залишиться 1020 горіхів. Це число ділиться на 5, що і дозволяє зробити шостий поділ на п’ять рівних частин так, щоб мавпа не отримала жодного горіха.