Позначка: Mikhail Katsnelson

В физике очень часто встречаются рассуждения об “усреднении по ансамблю”. Рассмотрим конкретный пример: требуется рассчитать электросопротивление металла за счет рассеяния электронов проводимости на каких-то примесях, при этом предполагается, что примеси расположены “случайно”. Усредняя по случайному распределению примесей, можно рассчитать их вклад в электросопротивление. Можно, также, провести соответствующие результаты и сравнить теорию с экспериментом.
Здесь есть, однако, тонкий момент, который редко обсуждается в учебниках. В эксперименте мы не усредняем результаты измерений по миллиону образцов. Более того, это просто невозможно – приготовить миллион образцов, идентичных во всех отношениях, кроме распределения примесей. Мы измеряем электросопротивление данного конкретного образца. Какой же смысл сравнивать такую теорию с таким экспериментом?
Дело в том, что электросопротивление достаточно большого куска металла обладает свойством самоусредняемости – это доказано. Самоусредняемость означает, что, хотя, формально, электросопротивление есть случайная величина (зависящая от конкретного расположения примесей в образце), ее распределение, в пределе большого числа атомов в кристалле, становится очень резким, с очень четко выраженным максимумом вероятности. Очень грубо, это можно рассматривать как проявление закона больших чисел, в соответствии с которым при достаточно большом числе испытаний монета будет в половине случаев падать орлом – и это утверждение про половину случаев становится все точнее и точнее при все большем и большем числе бросков.
В то же время, если исследуемый образец достаточно маленький (но все-таки не наномасштаба, а существенно больше, скажем, микронного), сопротивление перестает быть самоусредняемым, и начинает заметно изменяться при перескоке одной-единственной (!) примеси. Тем самым, возникают большие флуктуации, которые проявляются как шум в экспериментальных данных при изменении параметров системы (температура, магнитное поле, и т.д.). Их изучает специальный раздел физики конденсированного состояния, который называется мезоскопикой. Научную информацию из этих зашумленных данных можно извлекать, только опираясь на соответствующую теорию, в противном случае это выглядит просто как “какая-то грязь”.
Другой пример относится к обычной термодинамике. В теории можно, в принципе, рассчитать зависимость плотности газа от температуры при данном давлении (или от давления при данной температуре). При этом, опять же, используется “усреднение по ансамблю”. И, опять же, никто не делает миллион одинаковых баллонов, не заполняет их, допустим, аргоном, и т.п. – берут один баллон, и проводят измерения. Здесь обоснование, почему так можно, немного другое, оно связано с так называемой эргодической гипотезой (э.г.). Согласно э.г., для системы “общего положения” усреднение по времени наблюдения за любым представителем ансамбля можно заменить усреднением по ансамблю. Тем не менее, и здесь возможны важные исключения, например, так называемые стекла. Более того, “есть основания думать”, что сложная (в некоем трудноформализуемом смысле) система общего положения есть, как раз, стекло. Статистическая физика стекол – область чудовищно сложная и, во многом, counterintuitive.
Что из этого следует? А то, что, прежде чем использовать статистические методы где бы то ни было, нужно уже иметь теорию, то есть, нужно уже знать значительную часть ответа. Как минимум, эта теория вам подскажет, что именно нужно усреднять (например, в случае неупорядоченных металлов самоусредняющейся величиной является электросопротивление, а в случае диэлектриков – грубо говоря, его логарифм). Она, также, подскажет, когда система становится достаточно большой, чтоб использование статистических методов стало оправданным. Пример мезоскопики показывает, что ответ на этот вопрос может быть совершенно противоречащим здравому смыслу (и миллион атомов – это еще мало).
В “неточных” естественных науках и, тем более, в социологии используется, как правило, “лобовое” усреднение по ансамблю (взяли тысячу пташек, или тысячу человек, распотрошили, или спросили мнение о победе Д. Билана), которым физики пользуются только в самом крайнем случае. Причина проста – ансамблей не бывает. Не бывает систем, идентичных во всех отношениях, кроме одного.
“Я, например, не припомню, каким образом было выделено влияние широты места на чувствительность глаза или иных органов от прочих влияний: температуры, давления, времени года, времени дня, влажности воздуха, направления и силы ветра и прочих физически измеримых факторов, и обеспечено сохранение постоянства факторов физиологических, как, например, сыт или голоден субъект, чем питался, что и сколько пил, как действовал желудок, не имел ли каких радостей или огорчений, и пр. В таких случаях требуется несколько миллионов или даже несколько миллиардов наблюдений, чтобы случайные изменения параметров во всем множестве их возможных сочетаний компенсировались и можно было бы иметь хотя бы некоторое доверие к результату” (А. Н. Крылов, Мои воспоминания).
И, самое главное: лучше вообще не пользоваться математикой, чем пользоваться ей неправильно.
03.06.2008
(с) Professor Mikhail Katsnelson

Обсуждение преподавания комплексных чисел школьникам навело на вопрос, представляющий самостоятельный (и даже бОльший) интерес: должно ли преподавание более-менее следовать историческому развитию предмета. Оно, конечно, тождество исторического и логического, Гегель-Шмегель, все дела, но слишком легко строятся контрпримеры.
(1) Знакомство человечества с электричеством началось с электризации трением. Про электризацию трением даже студентам не рассказывают, потому что очень сложное явление, там и по науке далеко не все понятно.
А следующий важнейший этап – Франклин, атмосферное электричество. Тоже невероятно сложно, если обсуждать честно.
А следующий – Гальвани и Вольта, батарейки… И в них радости мало. Но, впрочем, каждый из этих этапов _проще_ предыдущего.
(2) Знакомство человечества с магнетизмом началось с магнетита Fe3O4. _Крайне_ сложное соединение, там тебе и много подрешеток, и фервеевский переход металл-изолятор, и зарядовое упорядочение, и чего только не. Нормальных работ по _микроскопическому_ пониманию магнитных свойств магнетита я, собственно, не знаю. Сам на эту задачу постоянно облизываюсь.
А потом – Гильберт, земной магнетизм (который тоже до сих пор до конца не понят).
И так далее. То ли дело – опыт Эрстеда (сравнительно поздний, девятнадцатый век). А самый мудрый подход (принятый, например, в Берклеевском курсе) – это выводить магнетизм через теорию относительности.
При этом, конечно, прекрасно, когда студенты знают _историю_ своей науки. Но это, по моему убеждению, должен быть отдельный курс. И там должно быть все по-честному, без этих глупостей про “два облачка” в физике конца девятнадцатого века (излучение черного тела и опыт Майкельсона-Морли) и прочей ерунды.
Теперь насчет комплексных чисел. На меня глубокое впечатление произвело одно из интервью Атийи, где он, в частности, рассуждал, что мы до сих пор не понимаем истинной природы спиноров, что их связь с группой вращений – это скорее досадная случайность, чем суть. Вы не представляете, как это правильно и как важно лично для меня, потому что спиноры в графене _никакого_ отношения к группе вращения не имеют, но они самые настоящие – и серьезное отношение к этим неправильным спинорам дало мне поучаствовать в некоторых из моих самых известных работ.
А Атийя сравнивает спиноры с комплексными числами, которые возникли при решении кубических уравнений и какое-то время прозябали в алгебре – но вся их мощь раскрывается только в анализе, и там их настоящее место.
22.05.2022
(с) Professor Mikhail Katsnelson

Во френдственном журнале обсуждается утверждение: если что-то “научно”, то по этому поводу сравнительно быстро достигается “консенсус”. А если консенсус не достигнут, то и научность так себе.
Науки бывают самые разные. Это бедняга Резерфорд не мог придумать оскорбления хуже чем “собирание марок”. Что бы он, интересно, сказал про историю КПСС, научный коммунизм, научный, в свою очередь, атеизм, политтехнологию и т.п. Поэтому попытаюсь ограничиться даже не физикой вообще, а более-менее знакомыми мне разделами физики.
Тут, конечно, все дело в том, какой срок считать за “сравнительно быстро”. Приписываемое Ландау утверждение: строго говоря, дураков не бывает, любой человек может разобраться в любом вопросе, просто у некоторых необходимое время превышает время жизни, даже для сравнительно простых вопросов. Тем не менее, если говорить о физике, то вряд ли период существования консенсуса по основным базовым вопросам существенно превышает сто лет. По сравнению с 1920 годом физика изменилась абсолютно до неузнаваемости. Видимо, нужно говорить о десятилетиях.
Тогда, конечно, пример, который сразу приходит на ум – высокотемпературная сверхпроводимость купратов, открытая в конце 1986 года. Треть века. Учитывая, сколько народу этим занималось и занимается, можно предположить, что за это время сделаны все мыслимые эксперименты и высказаны все мыслимые гипотезы/теории. В отношении чего консенсусом и близко не пахнет – это какие утверждения и какие “факты” важны, а какие нет. Нет даже и близко согласия по таким вопросам как природа высокотемпературной сверхпроводимости (то есть, конкретный механизм, приводящий к сверхпроводящему спариванию), природа электронного состояния в “нормальной” (не сверхпроводящей фазе), природа псевдощели, роль фононов, и т.д., и т.п.
Если кто-то на этом основании объявит всю эту деятельность ненаучной, с ним даже и разговаривать никто не станет. Чего с идиотами разговаривать, время на них тратить, когда тут умные люди ни о чем важном договориться не могут.
Если речь идет об основах физики, то, например, в вопросе, как правильно _понимать_ квантовую механику, согласия сейчас ничуть не больше, чем почти сто лет назад, во времена знаменитых “дискуссий” (упрощенно преподносимых широчайшим рабочим и крестьянам как “дискуссия Бора с Эйнштейном”). То есть, его, на самом деле, намного меньше. Конечно, можно сказать: зато мы “все” согласны с уравнением Шредингера, но, во-первых, отождествлять физическую теорию с ее формальным математическим аппаратом – тяжелая форма кретинизма, а, во-вторых, есть еще вопрос о границах применимости уравнения Шредингера (скажем, о его применимости к макрообъектам, о его достаточности для описания процесса измерения, и т.п.), а это уже и есть вопрос об _основах_, где консенсусом не пахнет.
Что еще? Гравитация? Только-только более-менее привыкли к тому, что гравитация – это кривизна пространства-времени, как пошли разговоры, что на самом деле это энтропия, quantum entanglement и Бог знает что еще. И опять консенсус испарился, только сформировавшись.
Вообще, наука _не_ стремится к консенсусу. Консенсус хорош на профсоюзных собраниях (да и там труднодостижим), а научные вопросы голосованием не решаются. Наука стремится к _истине_, а истина – это не состояние, а процесс.
Спасибо за внимание.
27.06.2020
(с) Professor Mikhail Katsnelson

(Конечно, нижеследующее сверхкратко, почти к каждому слову можно добавить очень много всего, от личных воспоминаний до уравнений и ссылок; не думаю, что это имеет смысл делать здесь)
Очень грубо, современная (последние сто лет) физика делится на “фундаментальную” (микрофизику) и “физику мира вокруг нас” (макрофизику). К первому разделу относятся физика высоких энергий (ранее называемая физикой элементарных частиц), (релятивистская) астрофизика, космология, и т.п. Ко второму – физика конденсированного состояния, оптика, атомная и молекулярная физика, физика плазмы и т.п. Ядерная физика мигрировала из первого списка во второй сравнительно недавно. Связность внутри каждого из этих разделов всегда была весьма высокой: редко у какого хорошего твердотельщика возникнут проблемы с чтением статей или книг по оптике или молекулярной физике (у плохого могут возникнуть проблемы даже с написанием собственного имени без орфографических ошибок, но зачем о грустном). Связи между разделами могут разрушаться и восстанавливаться.
До середины прошлого века единство теорфизики считалось само собой разумеющимся (памятником того времени остался знаменитый “Курс теоретической физики” Ландау и Лифшица). Великие теоретики середины века – Ферми, Бете, Вигнер, Фейнман, Пайерлс, Ландау и другие – преспокойно занимались всей физикой, и это не вызывало ни у кого особого удивления. В 1950е-1960е это единство было еще укреплено посредством применения полевых методов в ядерной физике и физике конденсированного состояния и, напротив, существенным использованием концепций физики конденсированного состояния (прежде всего, спонтанного нарушения симметрии) в фундаментальной физике, венцом чего стала Стандартная Модель. Даже классические разделы физики типа гидродинамики, выгглядевшие ранее несколько на особицу, стали использовать все тот же полевой язык. В 1970е годы совершилась “вильсоновская революция” в статистической физике, связанная с применением квантово-полевой, исходно, идеи перенормировок и ренормгруппы и еще более укрепившая это единство.
Раскол наметился и стал, казалось, необратимым в 1980е. Фундаментальная теоретическая физика становилась все более абстрактной, появились струны с их изощренной математикой, недоступной рядовому твердотельщику или оптику. С другой стороны, когда, после открытия высокотемпературной сверхпроводимости “фундаментальщики” с привычной лихостью попытались решить проблему, это закончилось сокрушительным обломом. Стало понятно, что никакие глубокие математические познания не избавляют, если уж хочешь заниматься твердым телом, от необходимости кое-что понимать в химии и прочих низменных материях. В 1990е обе стороны решили, что зелен виноград, и что не больно-то и хотелось, и по сути произошел развод.
А вот в двухтысячные начался обратный процесс. Открытый в 2004 году графен оказался новым и очень важным мостом между физикой конденсированного состояния и фундаментальной физикой. За этим последовал расцвет “topological matter”. Возникло AdS/CMT. Что-то работает, что-то нет, имеются и перегибы на местах, и головокружение от (иногда несуществующих) успехов, но тенденция очевидна: единство теорфизики восстанавливается. Именно усилия в этом направлении всячески приветствуются и поощряются научным сообществом.
01.05.2017
(с) Professor Mikhail Katsnelson

Итак, есть известное высказывание Дирака: “Физический закон должен быть математически красивым”. Есть также знаменитый призыв Больцмана “оставить изящество портным и сапожникам”. Здесь – несколько соображений по поводу и для затравки.
1. Психологически работа в области “фундаментальной” физики (занятой установлением “самых основных законов мироздания”) и, скажем, в (моей) области физики конденсированного состояния – совершенно различны. Беда в том, что история физики – это история “фундаментальной физики”. В смысле подготовки к реальной работе она, скорее, дезориентирует. Макс Борн писал Эйнштейну (найти сходу не смог, цитирую по памяти): ты знаешь, как я тобой восхищаюсь, но я убежден, что если в твоей манере попытается работать средний человек (к которым Борн относил и себя), ничего, кроме дерьма, из этого не выйдет.
Если даже есть (философские или богословские) основания считать, что _фундаментальная_ наука должна быть “простой и изящной”, совершенно непонятно, почему соображения простоты должны работать, скажем, в теории высокотемпературной сверхпроводимости – свойства соединений с достаточно сложными химическим составом и кристаллической структурой. Тем не менее, и там “простота объяснения” рассматривается как аргумент. Я не понимаю, почему. Скажем, Андерсон в своей книге “_The_ theory of high-Tc superconductivity” отметает все обсуждения роли электрон-фононного взаимодействия небрежной фразой, что, типа, и так все можно объяснить. Можно или нельзя – вопрос отдельный, но сам характер аргументации поразителен. А кто сказал, что вообще должен быть единый простой фундаментальный механизм? Откуда это следует?
Предположим, некоторое явление можно объяснить в рамках картины идеального кристалла. В реальности дефекты кристаллической решетки очень важны и способны радикально изменить все поведение. Тем не менее, их будут стараться игнорировать до тех пор, пока это не приведет к совсем уж вопиющим расхождениям с экспериментом. Но даже и после этого соображения о том, что “все сложно”, будут восприниматься с крайней неохотой.
2. С другой стороны, когда модель уже сформулирована и выбрана, соображения “математического изящества” вступают в полную силу – _при работе с моделью_. Точные решения обычно красивы; работающие приближения, как правило, допускают компактные формулировки. Естественно, интересующиеся физикой математики воспринимают только эту часть теор. физики. В то же время, первая часть (_до_ формулировки моделей) – главная. А там критерии совсем другие. Должна ли быть “красивой”, например, биологическая систематика (в том смысле, как, скажем, “Божественная Комедия” – три части с примерно равным количеством песен, все песни примерно равной длины и т.п.)?
3. Самая математически красивая физическая работа из тех, что я читал в журнале по горячим следам (а не в виде пересказа в учебниках) – статья Гутцвиллера 1980 года о квантовой частице на плоскости Лобачевского, где впервые в теории квантового хаоса возникла дзета-функция. К большому сожалению, польза этого направления для физики как таковой оказалась, вроде бы, небольшой. В то же время, часто очень полезными оказываются достаточно примитивные и уродливые prescriptions.
30.04.2006
UPDATE “Работающие приближения, как правило, допускают компактные формулировки” – авотфиг. И потом я это понял. В наших (с Лешей Рубцовым и Сашей Лихтенштейном) дуальных фермионах/бозонах компактные и красивые исходные действия переписываются в виде уродливых бесконечных рядов, да еще, с существенной нелокальностью по времени каждого члена. Но работает же!

(с) Professor Mikhail Katsnelson